PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

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1 Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB AC = AB AC b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB AC = c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB AC = AB Question Soit ABC un triangle équilatéral de centre O et de côté. a) OA OB = b) CA OB = c) CA CB = CA CO Question Soient u et v deux vecteurs tels que : u = v, alors : a) u = v ou u = - v b) u = v c) u + v et u v sont orthogonaux Question Soient u, v et w trois vecteurs tels que : u. v = u. w, alors : a) v = w b) u = c) u et v w sont orthogonaux Question 5 Soient u et v deux vecteurs tels que : uv=. π a) ( uv ; ) = b) u + v = Exercice n. (correction) Dans la configuration ci-dessous, on a AB=7 u = 6 et v =, alors : c) u v = Déterminer, par lecture graphique, les produits scalaires : AB AC ; BA DB, AB AE et AB DE Exercice n. (correction) ABC est un triangle équilatéral de côté a H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC. Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC ; AC CB, AB AH, AH BC et OA OB Exercice n. (correction) u et v sont deux vecteurs de même norme. Démontrer que les vecteurs u + v et u v sont deux vecteurs orthogonaux Exercice n 5. (correction) A,B et C sont trois points du plan tels que AB=, AC= et BAC π = radians ) On pose u = AB et v = AC. Calculer u v ) Construire les points D et E définis par AD = u v et AE = u + v ) Calculer les produits scalaires AD AD, AD AE et AE AE ) En déduire une valeur approchée à, degré près par défaut de l angle DAE Page / 7//9

2 Exercice n 6. (correction) ABCD est un rectangle de centre O tel que AB=8 et AD=5 ) Calculer les produits scalaires suivants : AC AD, AC DC et AC BD ) On désigne par α une mesure de l angle AOB Calculer cosα puis en déduire une valeur approchée par défaut à degré près de α ) H et K sont les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur (AC). Calculer AK et HK ) Donner la valeur exacte de tan HDK. En déduire une valeur approchée à degré près de HDK Exercice n 7. (correction) Soit ABC un triangle. Calculer AB AC et BC dans chacun des cas suivants : ) AB=6 cm, AC=5 cm et BAC = 6 ) AB=7 cm, AC= cm et BAC = Exercice n 8. (correction) On considère un triangle ABC tel que AB=, AC= et BC=6 Déterminer une mesure en degré des trois angles de ce triangle (arrondir à, degré près) Exercice n 9. (correction), Le plan étant muni d un repère orthonormé ( Oi ; ; j) ) Déterminer une équation du cercle C de centre le point A(- ;) et de rayon 5 ) Déterminer une équation du cercle C de diamètre [BC] avec B(- ;) et C( ;-) ) Déterminer la nature de l ensemble E d équation x + y + 7x 8y+ 8= ) Déterminer la nature de l ensemble E d équation x + y + 6x y+ = Exercice n. (correction), Le plan étant muni d un repère orthonormé ( Oi ; ; j) ) Identifier l ensemble E d équation x + y x+ y 5= Etudier l intersection de E et de la droite (d) d équation x y+ = ) Identifier les ensembles E d équation x + y + x y = et E d équation Déterminer les coordonnées des points d intersection de E et E = x y x y Exercice n. (correction) ABC est un triangle rectangle en A. H est le projeté orthogonal de A sur (BC) I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] Démontrer que (HI) et (HJ)sont perpendiculaires. Page / 7//9

3 Exercice n. (correction) Soit ABCD un carré de côté a, I le milieu de [BC] et J celui de [DC]. On se propose d'évaluer l'angle IAJ de mesure θ. ) Exprimer AI AJ en fonction de cos( θ ) et de a. ) a). Exprimer AI et AJ à l'aide des vecteurs AB et AD. b) Donner une autre expression de AI AJ. ) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos( θ ) et une valeur valeur approchée à près par défaut, de θ (en degrés). Exercice n. (correction) Dans un repère orthonormal ( Oi ; ; j), on considère les points A(5 ;6) et B(- ;-) ) Déterminer l équation du cercle C de diamètre [AB] ) Vérifier que le point D(- ;6) appartient à C et déterminer une équation de la tangente T à C au point D. Exercice n. (correction) On considère les points A(;;), B(;;) et C(;;). On cherche à déterminer une équation du plan (ABC) de la forme ax + by + cz = d, par deux méthodes différentes. ) a) Donner les coordonnées des vecteurs AB et AC. Vérifiez que les points A,B et C définissent un plan (ABC). b) Déterminer un vecteur normal n( a; b; c) au plan (ABC). (on pourra écrire que AB n = et AC n =, et choisir a=) c) En déduire une équation du plan (ABC) ) En écrivant que chacun des points A,B et C appartient au plan (ABC), déterminer une équation de ce plan (On sera amené à choisir une valeur pour l'un des nombres a, b, c ou d.) Exercice n 5. (correction) jk Soient les deux plans P et P' d'équations respectives dans un repère orthonormal ( Oi ; ; ; ) Pour P : (cos t) x + (sin t) y z = Pour P' : (cos t) x + (sin t) y + z = où t représente un paramètre réel. ) P et P' sont-ils perpendiculaires? Justifier. ) Pour quelles valeurs de t l'axe Ox est-il parallèle à P? ) Donner un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans. ) Calculer la distance de A(cos t, sin t, -) au plan P. Page / 7//9

4 PRODUIT SCALAIRE CORRECTION Exercice n (énoncé) Question a) FAUX. En effet, si les points B,A et C sont alignés «dans cet ordre» (c est-à-dire si A appartient au segment [BC], alors on aura AB AC = AB AC b) VRAI par définition c) VRAI A est le milieu de [BC] ssi ( AB, AC) = π [ π ] donc ssi AB AC = AB AC cos( π ) = AB Question Soit ABC un triangle équilatéral de centre O et de côté. Notons I le pied de la médiane issue de A = AB = π a) FAUX OA OB = OA OB = cos. Puisque le triangle est équilatéral, la médiane [AI] est aussi hauteur, donc d après le théorème de Pythagore, AI = AB BI = =, et ainsi OA = AI = On conclut donc que OA OB = = b) FAUX CA OB = car O étant le centre de gravité du triangle équilatéral, il est aussi centre du cercle circonscrit au triangle, donc (BO) est la hauteur issue de B dans le triangle, donc est orthogonale à (AC) c) VRAI En utilisant la relation de Chasles, la distributivité du produit scalaire, et la question précédente, on obtient CA CB = CA CO + OB = CA CO + CA OB Question a) FAUX on a l équivalence u = v u = v qui peut être vérifiée par des vecteurs de même norme, mais pas nécessairement égaux ou opposés. b) VRAI car puisque u et v sont des quantités positives, on a l équivalence u = v u = v u = v u = v u v = u v u + v = c) VRAI en utilisant l identité Question a) FAUX On ne peut pas «simplifier» par u. En effet, il «suffirait» que les vecteurs u et v d une part, et u et w d autre part, soient orthogonaux, pour que l on ait uv. = uw. =, sans avoir pour autant v = w b) FAUX Il «suffirait» que les vecteurs u et v d une part, et u et w d autre part, soient orthogonaux, pour que l on ait uv. = uw. =, sans avoir pour autant u = u v = u w u v u w = u v w = c) VRAI on a l équivalence Question 5 u v, donc u v 6 a) FAUX A partir de l égalité u v = u v cos ( u, v ), on en déduit ( cos uv, ) = = = 5π 6 ( uv, ) =± [ π ] b) VRAI On utilise l identité c) VRAI On utilise l identité u+ v = u + v + u v = 6+ 6=, d où le résultat u v = u + v u v = =, d où le résultat Page / 7//9

5 Exercice n (énoncé) Si on appelle H le projeté orthogonal de C sur (AB) (cf figure complétée), alors AB AC = AB AH Puisque les vecteurs AB et AH sont colinéaires de même sens, on aura AB AH = AB AH = 7 5 = 5 Ainsi AB AC = 5 On «réarrange» l écriture des vecteurs avant de calculer le produit scalaire : BA DB= BA ( BD) = BA BD Le point H précédemment défini est le projeté orthogonal de D sur (AB), donc BA BD= BA BH = BA BH car les vecteurs BA et BH sont colinéaires de même sens. Ainsi BA BD = 7 = et on conclut BA DB = Si on appelle K le projeté orthogonal de E sur (AB) (cf figure complétée), alors AB AE = AB AK Puisque les vecteurs AB et AK sont colinéaires de sens contraire, on aura AB AK = AB AK = 7 = Ainsi AB AE = En utilisant la relation de Chasles, et la distributivité du produit scalaire, on écrit AB DE = AB ( DA + AE) = AB DA + AB AE = AB ( AD) + AB AE = AB AD + AB AE En projetant le point D sur (AD), on obtient AB AD = AB AH = 7 5 = 5 Ainsi AB AD + AB AE = 5 = 9. On conclut AB DE = 9 Exercice n (énoncé) ) Puisque le triangle ABC est équilatéral, l angle BAC mesure π radians Ainsi ( π a AB AC = AB AC cos BAC) = a a cos = a a = ) ère méthode : On «réarrange» l écriture des vecteurs avant de calculer le produit scalaire : AC CB = CA CB = CA CB. Le produit scalaire CA CB se calcule comme celui ci-dessus : Page 5/ 7//9

6 π a CA CB = CA CB cos( ACB) = a a cos = a a = a Ainsi AC CB = ème méthode : On utilise la relation de Chasles, et la distributivité du produit scalaire, pour écrire AC CB = AC ( CA + AB) = AC CA + AC AB = AC + AB AC a a = a + = ) ère méthode : H est le projeté orthogonal de B sur (AH) AB AH = AH AB (symétrie du produit scalaire) Ainsi = AH AH = AH On utilise un résultat bien connu stipulant que la hauteur AH du triangle équilatéral mesure Ainsi AB AH = AH = a = a ème méthode : On calcule directement AB AH = AB AH cos( BAH ) Puisque le triangle ABC est équilatéral, la hauteur [AH] issue de A est également bissectrice de l angle BAC, de sorte que l angle BAH π mesure radians. 6 π Ainsi AB AH = a acos = a a = a. On retrouve le même résultat! 6 ) ère méthode : Puisque le triangle ABC est équilatéral, la hauteur [AH] issue de A est également médiane issue de A. Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est aussi centre de gravité du triangle, de sorte que OA = AH = a = a et de même pour la longueur OB. Enfin, l angle AOB mesure π radians. On calcule donc ( cos ) cos π OA OB OA OB AOB a a a = = = = a 6 ème méthode : H est le projeté orthogonal de B sur (OA), de sorte que OA OB = OA OH. Puisque les vecteurs OA et OH sont colinéaires de sens opposé, on aura OA OH = OA OH Puisque le triangle ABC est équilatéral, la hauteur [AH] issue de A est également médiane issue de A. Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est aussi centre de gravité du triangle, de sorte que OA = AH = a = a et OH = AH = a = a. On retrouve ainsi OA OH = a a = a a Page 6/ 7//9

7 Exercice n (énoncé) On applique «l identité remarquable du produit scalaire» : ( u + v ) ( u v ) = u v. Mais puisque, par hypothèse, u = v, on aura u = v, donc ( u + v ) ( u v ) =. Les vecteurs u + v et u v sont donc orthogonaux Exercice n 5 (énoncé) ) Le calcul de u v s effectue directement à l aide des données de l énoncé : () ( π u v = u v cos u; v = AB AC cos BAC ) = cos = = ) Construction des points D et E : ) On utilise les «identités remarquables» et la districution du produit scalaire : AD AD = ( u v ) ( u v ) = ( u v ) = u u v + v = u u v + 9 v = AB u v + 9AC = + 9 = = 6 AD AE = ( u v ) ( u + v ) = u ( u) + u v v ( u) v v = u + 8u v + v u v = AB + u v AC = 9+ = = 66 = Page 7/ 7//9

8 Enfin, AE AE = ( u + v ) ( u + v ) = ( u + v ) = u + ( u ) v + v = u 8u v + 6 v = AB 8u v + 6AC = = 9 + 6= 9 ) En calculant le produit scalaire AD AE d une deuxième manière, on obtiendrait AD AE = AD AE cos( DAE ) Puisque AD AE =, AD = AD AD = 6, on obtient AD = 6 = 6 et de même AE = 9 = 7 L égalité AD AE = AD AE = cos( DAE ) fournit donc ( AD AE cos DAE) = = = = AD AE 6 7 Grâce à la calculatrice, on déduit que l angle DAE mesure environ,8 (à, degré près) Exercice n 6 (énoncé) ) Le point C se projete orthogonalement en D sur (AD), de sorte que AC AD = AD AC = AD AD = AD = 5 On «réarrange» le produit scalaire AC DC avant de le calculer : AC DC = ( CA) ( CD) = ( ) ( ) CA CD = CA CD Le point A se projette orthogonalement en D sur (CD), de sorte que CA CD = CD CA = CD CD = CD = 6 On applique la relation de Chasles et la distributivité du produit scalaire pour calculer : AC BD = AC ( BA + AD) = AC BA + AC AD = AC AB + AC AD Le point C se projette orthogonalement en B sur (AB), de sorte que AC AB = AB AC = AB AB = AB = 6 Ainsi AC AB + AC AD = = 9 On conclut ainsi que AC BD = 9 ) On calcule de deux manière différentes le produit scalaire OA OB D une part, OA OB = CA DB = CA DB = ( AC) ( BD) = AC BD 9 On a déjà calculé AC BD = 9, donc OA OB = D autre part OA OB = OA OB cos( AOB) D après le théorème de Pythagore, la diagonale AC du rectangle mesure AC AB BC = + = = 89, donc les demi diagonales mesurent OA = OB = 89 Ainsi OA OB = cos( α ) = 89 cos( α ) 89 = 9 = 9 89 En égalant les deux expression du produit scalaire, on obtient cos( α) cos( α) Grâce à la calculatrice, on déduit que l angle AOB mesure environ 6 (à degré près) ) On calcule de deux manière différentes le produit scalaire AO AD D une part, le point D se projete orthogonalement en K sur (AO). Ainsi AO AD = AO AK, et puisque les vecteurs AO et AK sont colinéaires de même sens, AO AK = AO AK = 89 AK Page 8/ 7//9

9 5 D autre part AO AD = AC AD = AC AD = 5 5 En égalant les deux expressions du produit scalaire AO AD, on obtiendra 89AK = AK = 89 5 Par symétrie, on déduit la valeur de HC : HC = On calcule alors HK=AC-(AK+HC), c est-à-dire HK = 89 = = ) Dans le triangle HDK rectangle en K, on calcule tan( HK HDK ) = DK On calcule la longueur DK en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AKD rectangle en K : DK = AD AK = 5 = donc DK = =, et on termine de calculer 9 tan ( HDK ) = 89 = Grâce à la calculatrice, on déduit que l angle HDK mesure environ (à degré près) Exercice n 7 (énoncé) ) On calcule directement le produit scalaire AB AC en utilisant les donées de l énoncé : AB AC = AB AC cos( BAC) = 6 5 cos( 6 ) = 6 5 = 5 On calcule BC en utilisant la formule d Al Kashi : BC = AB + AC AB AC = = donc BC = cm ) On calcule directement le produit scalaire AB AC en utilisant les donées de l énoncé : AB AC = AB AC cos( BAC ) = 7 cos( ) = 7 = On calcule BC en utilisant la formule d Al Kashi : BC = AB + AC AB AC = 7 + = 9 donc BC = 9 cm Exercice n 8 (énoncé) On utilise la formule d Al Kashi : BC = AB + AC AB ACcos A. On en déduit donc la valeur excate de cos A : AB + AC BC 7 cos( A) = = = AB AC 86 Grâce à la calculatrice, on déduit que l angle A mesure environ 8, (à, degré près) Page 9/ 7//9

10 De la même manière : AC = BA + BC BA BC cos ( B) nous permet de calculer cos B déduire, grâce à la calculatrice, que B 5,8 à, près BA + BC AC 8 = = =, donc d en BA BC 5 Enfin, AB = AC + BC AC BC cos( C ) nous permet de calculer cos C d en déduire, grâce à la calculatrice, que C à, près AC + BC AB 9 = = =, donc AC BC 6 6 Exercice n 9 (énoncé), Le plan étant muni d un repère orthonormé ( Oi ; ; j) ) Un point M ( xy ; ) appartient à C si et seulement si AM = 5 En utilisant la formule de la distance dans un repère orthonormé, et l équivalence AM = 5 AM = 5, on obtient : M ( x; y) C ( x xa) + ( y ya) = 5 ( x+ ) + ( y ) = 5 ) ère méthode : xb + xc On calcule les coordonnées du centre I du cercle, qui est le milieu de [BC] (donc xi = = et yb + yc yi = = ), ainsi que le rayon du cercle, qui vaut 5 BC = x x + y y = + = C B C B On se retrouve dans la situation de la question ), ou on applique la formule du cours sur l équation d un cercle de centre 5 et de rayon connu : ( x ) + y = ème méthode : Un point M ( xy ; ) appartient à C si et seulement si MB MC = x x On détermine les coordonnées du vecteur MB et MC y y La condition MB MC = se traduit alors par : x x + y y = + x x+ x y+ y+ y = x x+ y y = 5 On «transforme» cette expression pour obtenir : x x+ y y = 5 ( x ) + y = 5 5 ( x ) + y = On retrouve le résultat précédémment établi Page / 7//9

11 ) On transforme l équation de E : x + y + 7x 8y+ 8= 7 9 x+ + ( y ) 6+ 8= 7 8 x+ + ( y ) = On identifie E comme étant le cercle de centre ) On transforme l équation de E : = x y x y = = 7 Ω ; et de rayon 8 9 = ( x ) ( y ) + = x = Cette dernière égalité n est possible que si et seulement si et 5 = y = 5 L ensemble E est donc réduit au seul point S de coordonnées S(- ;5) (on peut aussi voir cet ensemble comme le cercle de centre S et de rayon égal à zéro!) Exercice n (énoncé) ) On transforme l équation de E : x + y x+ y 5= + + 5= + + = On identifie E comme étant le cercle de centre Ω( ; ) et de rayon Pour étudier l intersection du cercle E et de la droite (d) d équation x y x + y x+ y 5= L solutions du système x y+ = L On résout ce système par substitution, en utilisant la ligne L pour écrire x y+ = x= y On remplace, dans la ligne L, x par y-, et on obtient une équation du second degré à une inconnue y : y + y y + y 5= = 5y y = 5y y = y y y 8y y 5 Les solutions de cette équation sont y = x= et y = x= Les points d intersection de E et (d) sont les points A et B de coordonnées A(- ;) et B( ;) ) On transforme l équation de E : x + y + x y = + + = + + = 8 On identifie E comme étant le cercle de centre Ω ; et de rayon 8 + =, cherchons les couples ( x; y ) Page / 7//9

12 On transforme l équation de E : = x y x y = + + = On identifie E comme étant le cercle de centre Ω ; et de rayon Pour étudier l intersection des deux cercles E et x; y solutions du système x + y + x y = L x + y 6x+ y+ = L 8x 8y = L L x y = L L En soustrayant les deux lignes, il vient x + y 6x+ y+ = L x + y 6x+ y+ = L On résout ce système par substitution, en utilisant la première ligne pour écrire x y = x= y+ On remplace, dans la deuxième ligne, x par y+, et on obtient une équation du second degré à une inconnue y : y+ + y 6 y+ + y+ = y y y y y E, cherchons les couples + + = + + = + = Cette équation admet une unique solution y = x= Les deux cercles n admettent qu un seul point d inetrsection : le point A( ;-). Ils sont tangents en ce point. Exercice n (énoncé) Pour démontrer que (HI) et (HJ)sont perpendiculaires, calculons le produit scalaire HI HJ On utilise la relation de Chasles et la distributivité du produit scalaire : HI HJ = ( HA + AI ) ( HA + AJ ) = HA HA + HA AJ + AI HA + AI AJ car le triangle ABC est rectangle en A = HA AH AJ AH AI = HA AH AC AH AB car I et J sont les milieux respectifs de [AB]et [AC] Puisque le point C se projette orthogonalement en H sur [AH] et puisque le point B se projette orthogonalement en H sur [AH], on a AH AC = AH AH = AH et de même AH AB = AH AH = AH Le produit scalaire HI HJ vaut donc HI HJ = HA AH AH =, ce qui prouve que les vecteurs HI et HJ sont orthogonaux, donc que les droites (HI) et (HJ)sont perpendiculaires Exercice n (énoncé) ) Une première expression de AI AJ est AI AJ = AI AJ cos ( AI, AJ ) En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ABI et ADJ rectangles en B et D, on établit que : a 5a a 5 AJ = AI = AB + BI = a + = = a 5 a 5 5a AI AJ = cos AI, AJ = cos θ Ainsi Page / 7//9

13 ) a) En utilisant la relation de Chasles, on écrit AI = AB + BI = AB + BC = AB + AD et AJ = AD + DJ = AD + DC = AB + AD b) En utilisant les deux expressions ci-dessus et la distributivité du produit scalaire, on établit que : AI AJ = AB + AD AB + AD = AB AB + AB AD + AD AB + AD AD car ABCD car ABCD est un carré est un carré = AB + AD = a + a = a ) En égalant les deux expressions de AI 5a AJ, on obtient cos θ = a cos θ = 5 En utilisant la calculatrice, on obtient une valeur approchée à près de θ : θ 6,87 Exercice n (énoncé) xa + xb ) On calcule les coordonnées du centre I du cercle C, qui est le milieu de [AB] (donc xi = = et ya + yb yi = = ), ainsi que le rayon du cercle, qui vaut : ( 6) ( 8) AB = x x + y y = + = = 5 B A B A + = 5 ) Le point D appartient à C si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de C L équation de C est donc : D D + = + 6 = + = 5, donc D est un point de C xd xi = = Un vecteur normal à la tangente T à C au point D est le vecteur ID y D y I = 6 = = a Une équation cartésienne de T est donc ax + by + c = avec ID, donc de la forme x+ y+ c=. On utilise = b les coordonnées du point D pour calculer le coefficient c : x + y + c= c= x y = 6= Une équation de T est donc x+ y = On calcule D D D D Exercice n (énoncé) xb xa = xc xa = ) On calcule les coordonnées des vecteurs AB yb ya =, AC yc ya = zb za = zc za = Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires car il n existe pas de réel k unique satisfaisant aux trois conditions k = k =. Les points A,B et C ne sont donc pas alignés, donc définissent un plan (ABC). k = b) Notons n( a; b; c) les coordonnées d un vecteur normal à (ABC). Puisque AB n =, on a a+ ( ) b+ c= a b+ c= Puisque AC n = a+ b+ c= a+ b=, on a Page / 7//9

14 a b+ c= Le système de deux équations à trois inconnues admettant une infinité de solutions, on doit «fixer a + b = arbitrairement» une valeur pour l une quelconque des inconnues. L énoncé nous conseille de choisir a= a= a= Le système devient alors b+ c= c= b =. Un vecteur normal à (ABC) est donc n. + b= b= c) Une équation du plan (ABC) est alors x+ y+ z+ d =. On détermine d en utilisant les coordonnées de l un des points de ce plan, par exemple A( ; ;). On obtient xa + ya + za + d = d = xa ya za = = 5 Une équation du plan (ABC) est alors x+ y+ z 5=. ) Une équation de (ABC) étant de la forme ax + by + cz = d, les coordonnées de A,B et C vériant cette équation de droite, nous permettent de dresser le système de trois équations à inconnues : axa + bya + cza + d = a+ b+ c+ d = axb + byb + czb + d = a + c + d = axc byc czc d = b+ c+ d = Ce système admettant une infinité de solutions, on doit «fixer arbitrairement» une valeur pour l une quelconque des inconnues. On fixe par exemple a = Le système devient : b+ c+ d = L b+ c+ d = L b+ c+ d = L b= c d = L c+ d = L c+ d = L c+ d = L d = c= 5 L b c d L c d L L L c L L + + = = = = + c= L + L On retrouve alors l équation x+ y+ z 5= Exercice n 5 (énoncé) ) P et P admettent pour vecteurs normaux les vecteurs n ( cos t ;sin t ; ) et n ( cos t;sin t ; + ) Le produit scalaire n n ( t)( t) ( t)( t) ( t) ( t) = cos cos + sin sin + = cos + sin = = nous permet d affirmer que les plans P et P' sont perpendiculaires. ) l axe Ox est parallèle à P pour toutes les valeurs de t pour lesquelles n ( cos t ;sin t ; ), vecteur normal à P sera orthogonal à tout vecteur directeur de l axe Ox. Un vecteur directeur de l axe Ox est u ( ; ; ). Le produit scalaire n u = ( cost) + ( sin t) + ( ) = cost. Pour π t = [ π ], n u = cost =, donc l axe Ox est parallèle à P. ( cost ) x+ ( sin t ) y z = ) Les coordonnées des points de la droite intersection des deux plans vérifient le système, ( cost) x+ ( sin t) y+ z = cost x+ sin t y+ z = cost x+ sin t y= soit, par soustraction des deux lignes,. z = z = x = λ π Si t = [ π ], puisque cost = et sin t =, le système est équivalent à y =, λ. Un vecteur directeur de la droite z = intersection des deux plans est v ( ; ; ) π ( t) x Si t [ π ], est v ( ; ; ) x= λ tant cos + sin t y = y = λ, λ Un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans z = z = ) La distance de A(cos t, sin t, -) au plan P vaut ( t)( t) ( t)( t) ( cost) + ( sin t) + ( ) cos cos + sin sin + + = = = + Page / 7//9.

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